Rund um die "Goldene Zahl"
Fraktale sind Figuren mit Selbstähnlichkeit. Das heißt, dass gewisse Teilfiguren verkleinerte Abbilder der Gesamtfigur sind. Fraktalbäume Fraktalbaumausschnitt Die obigen Bilder liefern ein einfaches Beispiel. Die Astverzweigungen der "Bäume" entstehen symmetrisch unter dem Öffnungswinkel von 120o, wobei sich die Astabschnitte stets um den selben Faktor k verkleinern. Bei Fortsetzung dieser Schritte bis ins Unendliche entsteht ein so genanntes Baumfraktal.
 
Die mittlere Figur zeichnet sich dadurch aus, dass Teilbereiche gleicher Größe einander exakt berühren. Als Berührbedingung findet man für k den Wert 0,61803...   Sein Kehrwert hat exakt dieselbe Nachkommafolge (siehe später) und heißt  "Goldene" Zahl  Φ = 1,61803...
Zeichnen Sie Ihren eigenen fraktalen Baum! Wie groß ist der genaue Wert von Φ ?
Versuchen Sie, den Wurzelausdruck dafür herzuleiten, indem Sie etwa die rot gezeichnete Distanz d in der nebenstehenden Teilansicht des Goldenen Baumes auf zwei Arten berechnen:
Einmal über die grün gezeichnete, unendlich unterteilte Zickzacklinie, das andere Mal über den blau skizzierten Ast.
Es sollte sich der Term von Seite "3 Die Zahl Φ", Zeile (32) ergeben.
Der Fraktalbegriff geht vor allem auf Benoît Mandelbrot zurück. Sein "Apfelmännchen" ist allgemein bekannt geworden. Wenn auch erste Überlegungen schon vor vielen Jahrzehnten angestellt wurden, waren systematische Untersuchungen erst mit Entwicklung leistungsfähiger Computer möglich.
 
Das Internet zeigt zahlreiche Bildbeispiele, sogar als Animation, sowie Erklärungen zum Thema "Fraktale".