Gerhard Hanebeck - Rund um die Goldene Zahl

Fraktale sind Figuren mit Selbstähnlichkeit. Das heißt, dass gewisse Teilfiguren verkleinerte Abbilder der Gesamtfigur sind. Fraktalbäume

Die obigen Bilder liefern ein einfaches Beispiel. Die Astverzweigungen der "Bäume" entstehen symmetrisch unter dem Öffnungswinkel von 120^o, wobei sich die Astabschnitte stets um den selben Faktor k verkleinern. Bei Fortsetzung dieser Schritte bis ins Unendliche entsteht ein so genanntes Baumfraktal.

Die mittlere Figur zeichnet sich dadurch aus, dass Teilbereiche gleicher Größe einander exakt berühren. Als Berührbedingung findet man für k den Wert 0,61803... Sein Kehrwert hat exakt dieselbe Nachkommafolge (siehe später) und heißt "Goldene" Zahl Φ = 1,61803... Zeichnen Sie Ihren eigenen fraktalen Baum! Wie groß ist der genaue Wert von Φ ?
Versuchen Sie, den Wurzelausdruck dafür herzuleiten, indem Sie etwa die rot gezeichnete Distanz d in der nebenstehenden Teilansicht des Goldenen Baumes auf zwei Arten berechnen:
Einmal über die grün gezeichnete, unendlich unterteilte Zickzacklinie, das andere Mal über den blau skizzierten Ast.
Es sollte sich der Term von Seite "3 Die Zahl Φ", Zeile (32) ergeben. Der Fraktalbegriff geht vor allem auf Benoît Mandelbrot zurück. Sein "Apfelmännchen" ist allgemein bekannt geworden. Wenn auch erste Überlegungen schon vor vielen Jahrzehnten angestellt wurden, waren systematische Untersuchungen erst mit Entwicklung leistungsfähiger Computer möglich.

Das Internet zeigt zahlreiche Bildbeispiele, sogar als Animation, sowie Erklärungen zum Thema "Fraktale".

Im Jahre 1202 veröffentlichte einer der bedeutendsten Mathematiker des Mittelalters, Leonardo von Pisa, unter dem Namen "Fibonacci" (aus lat. "filius Bonacci") sein Buch "Liber Abaci". Es enthält zum Beispiel den so genannten Modus Indorum, womit die arabischen Ziffern und das Stellenwertsystem zur Darstellung aller Zahlen gemeint sind.

Im Buch kommt auch folgendes Problem der Kaninchenvermehrung vor:

Anmerkung: Dieses Vermehrungsmuster ist natürlich biologischer Unsinn. Weitaus besser passen würde hier das Beispiel der Bienenfortpflanzung, wie man inzwischen weiß.

Lösung:
Unter der Annahme, dass kein Tier in der Kaninchenkolonie stirbt, ergibt sich für die monatlichen Zahlen der Kaninchenpaare die (hier unendliche) Folge:

<1, ....>

In ihr ist vom dritten Folgenglied an jede Zahl die Summe der beiden vorangehenden Zahlen.

Der Künstler Mario Merz hat 2003 auf dem Salzburger Mönchsberg den 7 Meter hohen Stahlrohr-Iglu "Ziffern im Wald" geschaffen. An ihm werden 21 Fibonacci-Zahlen dargestellt, die nachts als Leuchtschriften sichtbar werden können. Sie sollen nach der Vorstellung von Merz als Symbol für das Wachstum von Blättern im Sinn unendlichen Werdens zu verstehen sein.

Die obige "Fibonacci-Folge" <a_i> ist nicht geometrisch. Der Quotient aufeinander folgender Glieder ist daher nicht konstant, nähert sich aber offensichtlich rasch einem Grenzwert. So ist etwa:

Siehe hierzu auch Beispiel 4) auf der Seite "11 Aufgaben"! Fügt man ausgehend von einem Einheitsquadrat entsprechend dem in nebenstehender Figur gezeigten Kompositionsmodus Quadrate aneinander, kann man die Folgenglieder als Quadratseitenlängen auch geometrisch erzeugen.

Das entstandene Gesamtrechteck habe die Länge u und die Breite v.

(u+v) : u = u : v

Ein Rechteck, für das (22) exakt gilt, heißt Goldenes Rechteck.

Das "goldene" Rechteck Von einem Rechteck mit den Seitenlängen a und b (mit a > b) wird ein Quadrat abgeschnitten. Wie muss das Verhältnis v der Seiten a und b sein, damit das übrig bleibende Rechteck dem ursprünglichen ähnlich ist?
Aus der über der Figur stehenden Ähnlichkeitsbedingung folgt für v die Gleichung: v² = v + 1 (31) Sie hat als positive Lösung die "goldene" Zahl: Φ = Die Zahl Phi

= 1,61803... (32) Schreibt man in Gleichung (31) Φ statt v, erhält man

Φ² = Φ + 1 (33)

oder umgeformt

Φ⁻¹ = Φ − 1 (34)

Jede dieser Gleichungen kann als Definitionsgleichung der Goldenen Zahl dienen.

Φ³ = 1 + 2Φ

Φ⁴ = 2 + 3Φ

Φ⁵ = 3 + 5Φ

Φ⁶ = 5 + 8Φ

Φ⁷ = 8 + 13Φ

Φ⁻² = 2 − Φ

Φ⁻³ = 2Φ − 3

Φ⁻⁴ = 5 − 3Φ

Φ⁻⁵ = 5Φ − 8

Φ⁻⁶ = 13 − 8Φ

⁹

Die Beträge der Koeffizienten in diesen linearen Zerlegungstermen sind ausschließlich Glieder der "Kaninchenfolge" (11).

Die negative Lösung von (31) sei mit dem entsprechenden Kleinbuchstaben bezeichnet, also φ =

, wobei hier φ⁻¹ = −Φ gilt.
Damit lässt sich ein Term für die n-te Fibonacci-Zahl schreiben als:

(35)
Diese von Jacques Binet (1843) veröffentlichte Formel war schon im 18. Jhdt. (A. de Moivre, Daniel Bernoulli, Leonhard Euler) bekannt.
Ein Beweis ist etwa mit vollständiger Induktion möglich.

In Verallgemeinerung kann man jede Folge "Fibonacci-Folge" nennen, die nach a_n+2 = _n+1 + a_n (36)
aufgebaut ist.

Kann eine Fibonacci-Folge geometrisch sein? Das würde a_nq² = a_nq + a_n bedeuten, was sofort die obige Gleichung (33) mit q statt Φ ergibt.

Es gibt also monotone geometrische Fibonacci-Folgen im oben definierten Sinn. Ihre Glieder sind (vom ersten abgesehen) immer irrational, und der Folgenquotient ist die Goldene Zahl Φ. Ein Beispiel (letzte Kommastelle gerundet):

< 1 , 1,61803 , 2,61803 , 4,23607 , 6,85410 , 11,09017 , 17,94427 ... >

Bekanntlich stellt das Dezimalsystem eine Zahl als Summe von Zehnerpotenzen dar. Es braucht dazu zehn Ziffern (0,1,2,...9). So ist
3027,49 = 3·10³+0·10²+2·10¹+ 7·10⁰+4·10⁻¹+9·10⁻².

Das Hexadezimalsystem arbeitet mit Potenzen von 16 und benötigt deshalb 16 Ziffern (0,1,2,...9,A,B,C,D,E,F). Also ist etwa
1035 = 4·16²+0·16¹+ B·16⁰ = 40B_h

Am wichtigsten neben dem Dezimalsystem ist das zweiziffrige Binärsystem oder auch Dualsystem mit der Basis 2. Beispiel:
46,75 = 1·2⁵+0·2⁴+1·2³+ 1·2²+1·2¹+0·2⁰+ 1·2⁻¹+1·2⁻² = 101110,11_b

Nach den Formeln (33) und (34) der vorigen Seite ist es leicht möglich, Φ als Basis zu wählen, wobei dieses Goldene Zahlensystem wie das binäre mit den Ziffern 0 und 1 auskommt. Beispiele:

Dezimahlzahl	Zerlegung	Zahl im Φ-System
1	1·Φ⁰	1_Φ
2	1·Φ¹+0·Φ⁰ +0·Φ⁻¹+1·Φ⁻²	10,01_Φ
3	1·Φ²+0·Φ¹+ 0·Φ⁰+0·Φ⁻¹+1·Φ ⁻²	100,01_Φ
4	1·Φ²+0·Φ¹+ 1·Φ⁰+0·Φ⁻¹+1·Φ ⁻²	101,01_Φ
5	1·Φ³+1·Φ⁻¹ +1·Φ⁻⁴	1000,1001_Φ

Die Zerlegungen sind nicht eindeutig.
Für die Zahl 1 gibt es etwa die Darstellungen Φ⁰ oder Φ⁻¹+Φ⁻² oder Φ⁻²+Φ⁻³+Φ⁻⁴+.....,
also im Φ-System geschrieben 1 oder 0,11 oder 0,0111111...

Um Eindeutigkeit zu erzielen, kann man vereinbaren, immer nur die größtmöglichen Potenzen von Φ zu verwenden.

Auf diese Weise die obige Tabelle fortgesetzt, ergibt:

Dezimahlzahl	Zahl im Φ-System
6	1010,0001_Φ	Offenbar tritt die Ziffer 1 immer nur isoliert auf. Vgl. dazu das Beispiel 8) von Seite "11 Aufgaben". Die Φ-Zahlen für 2, 3 und 7 haben nur am Anfang und am Ende eine Eins (minimales Auftreten der Ziffer 1). Bei 4 und 11 wechseln 1 und 0 einander konsequent ab (maximales Auftreten der Ziffer 1). Tauchen diese Eigenschaften in späterer Folge immer wieder auf? Gibt es diesbezüglich Gesetzmäßigkeiten?
7	10000,0001_Φ
8	10001,0001_Φ
9	10010,0101_Φ
10	10100,0101_Φ
11	10101,0101_Φ
12	100000,101001_Φ
usw.

"Die Geometrie birgt zwei große Schätze. Der eine ist der Satz des Pythagoras, der andere der Goldene Schnitt. Den ersten können wir mit einem Scheffel Gold vergleichen, den zweiten als ein kostbares Juwel bezeichnen."

"Ich glaube nicht an den Goldenen Schnitt. Mindestens aber glaube ich nicht, daß er das einzige formale Gesetz für unser Schönheitsempfinden ist, sondern höchstens eines unter vielen, unter unzählig vielen."

Anmerkung:
Im obigen Kepler-Zitat wurde der lateinischische Ausdruck "proportio divina" mit der erst seit 1835 üblichen Bezeichnung "Goldener Schnitt" übersetzt. Sie stammt von Martin Ohm, dem Bruder von Georg Simon Ohm, nach dem das Ohmsche Gesetz der Physik benannt ist.

Goldener Schnitt oder stetige Teilung, früher auch "göttliche Teilung":

Teilverhältnis, welches in verschiedenen geometrischen und arithmetischen Situationen erscheint.
Im engeren Sinn geht es um die Teilung einer Strecke in der Weise, dass sich die Länge der ganzen Strecke zum größeren Teil verhält wie dieser zum kleineren Teil. Wie aus der Rechteckfigur der Seite "3 Die Zahl Φ" folgt, ist dieses Teilverhältnis gleich der Goldenen Zahl.
Die längere der beiden Teilstrecken heißt auch "Major", die kürzere "Minor".

Teilungsverhältnisse Φ = 1.618... werden als besonders harmonisch tradiert und nach wie vor gelehrt, wenn auch modernere Auffassungen sich bewusst dazu in Gegensatz stellen.

Weisen Sie nach, dass entsprechend der Kreisbogenkonstruktion die Bildrahmenlängen a und b durch die Punkte T und T' nach dem obigen Wurzelterm für Φ geteilt werden. Man sagt: "Baum und Horizontlinie teilen die Bildfläche nach dem goldenen Schnitt." Die Figur rechts zeigt eine Teilungskonstruktion an einem Quadrat ABCD:
M ist der Mittelpunkt der Strecke AB. Zeigen Sie, dass das Verhältnis AT:AB gleich Φ ist. Zur Rolle des Goldenen Schnitts in der Architektur siehe die gleichnamige Seite 9.

Einfache Möglichkeiten gleichschenkliger Dreiecke:

Teilt man 180 Grad durch 3, erhält man 60 Grad und damit das gleichseitige Dreieck.
Teilt man entsprechend durch 4, bekommt man 90 Grad und als einzigen Fall das rechtwinklig gleichschenklige Dreieck.
Analog durch 5 ergibt zwei nichtähnliche Typen mit den Innenwinkeln 36^o, 72^o, 72^o und 36^o, 36^o, 108^o.
Diese Dreiecke nennt man oft "Goldene Dreiecke". Für goldene Dreiecke gilt: Ist ihre Basislänge bzw. Schenkellänge gleich 1, sind die anderen Seitenlängen gleich Φ.

Versuchen Sie, diese Behauptung anhand der rechten Figur zu beweisen.
Bedenken Sie dazu, dass eine Innenwinkelsymmetrale im Dreieck die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der anliegenden teilt und dass etliche Strecken wegen der Gleichschenkligkeit gleich lang sind. Das reguläre Fünfeck In ihm wimmelt es nur so von goldenen Dreiecken.
Genauso kommt die Zahl Φ irgendwie geradezu "überall" vor.

Im nebenstehenden regulären Fünfeck ist die Seitenlänge gleich 1.
Bestimmen Sie die Längen möglichst vieler Teilstrecken (AF, AG, AC, FG, HJ, HK, HL, KL) in Abhängigkeit von Φ in der Form Φⁿ mit ganzzahligem n.

Wie viele Major-Minor-Paare kann man in der nebenstehenden Figur finden? Der in der Figur erkennbare 5-zackige Stern heißt auch Pentagramm (früher Drudenfuß). Er diente als Beschwörungszeichen gegen das Böse (Faust zu Mephistopheles: "Das Pentagramma macht dir Pein?").
Im Altertum war es Erkennungszeichen der Pythagoräer. Sie glaubten an die Ganzzahligkeit, und es soll sie geradezu in eine Krise gestürzt haben, als sie in ihm inkommensurable Strecken entdeckten: "Hippasos hat die Heiligen geschändet..." Inwiefern kann die Figur als Vorlage zur Bildung eines Fraktals dienen? (Vgl. die Seite "1 Fraktal")

Konstruktion der Seite des regulären Zehnecks

Nebenstehend ein reguläres Zehneck mit der Seite CD.
Gleichfalls erkennbar ist der entsprechende reguläre Zehnstern mit der Seite AD.
Wegen der leicht zu berechnenden einschlägigen Winkel handelt es sich bei den gleichschenkligen Dreiecken OCD und OAD um so genannte "goldene" im Sinn der vorigen Seite "6 Fünfeck". Es gilt nämlich
∠COD = 360⁰:10 = 36⁰ und ∠AOD = 3 ∠COD = 108^o.
Hat der Umkreisradius OA die Länge r, gilt für die obigen Seitenlängen
CD = rΦ⁻¹ und AD = rΦ (71).

Nach Gleichung (34) von Seite "3 Die Zahl Φ" folgt:
AD − CD = rΦ − r(Φ−1) = r (72)

1) Die Differenz der Seitenlängen von regulärem Zehneck und regulärem Zehnstern ist gleich dem Umkreisradius.

2) Andererseits ist nach den Gleichungen (71) das Produkt der Seitenlängen von regulärem Zehneck und regulärem Zehnstern gleich r².

Wegen der Lösungseindeutigkeit eignen sich diese Folgerungen auch als hinreichende Bedingungen. Damit kommt man leicht zur
Konstruktion der Zehneck- bzw. Fünfeck-Seite:

Behauptung:
Für den rechts gezeichneten Kreis mit Radius r=OA stellen die Strecken AK und AL die gesuchten Seiten des regulären Zehnecks bzw. des entsprechenden Zehnsterns dar. Beweis:
Zunächst gilt AK−AL=KL=r, womit die erste der Bedingungen erfüllt ist.
Auch die zweite lässt sich überprüfen:
AK·AL=(AM+KM)·(AM-LM)=(AM+MO)·(AM-MO)=AM²−MO²=r². Eine "haptische Konstruktion":
Man macht in einen Papierstreifen einen einfachen Knoten und drückt ihn platt.
Warum wird auf diese Weise ein reguläres Fünfeck erkennbar?
Wie lang ist die Fünfeckseite bei Streifenbreite b?

Verbindet man den Punkt G(0/1) mit dem Punkt H(-Φ/0), entsteht mit den Koordinatenachsen ein goldenes Dreieck. Eine Senkrechte auf GH liefert I, anolog fortgesetzt entstehen J, K, L usw. Verbindet man G(0/1) mit F(Φ^-1/0) und fährt verkleinernd ebenso fort wie vorher vergrößernd, kommt man zu den Punkten E, D usw.

Insgesamt bilden alle Verbindungsstrecken mit den Koordinatenachsen eine Folge von goldenen Dreiecken, die - größer werdend - auseinander durch Drehstreckung mit dem Faktor Φ und dem Drehwinkel 90^o hervorgehen.

Die besagten Verbindungsstrecken sind Diagonalen von Quadraten, von denen zwei durch strichlierte Linien deutlich werden. Es sind Quadrate, die aus der Rechtecksfigur von Seite "2 Fibonacci" bekannt sind. Die Diagonalen bilden eine eckige Spirale.

Eine solche entsteht also, wenn man die Quadrate dieser Figur - wie dort gezeigt - in einheitlichem Drehsinn aneinanderfügt und die Diagonalen der Quadrate entsprechend zieht. Eine Goldene Spirale entsteht, indem man die Quadratdiagonalen durch passende Viertelkreise um Quadratecken ersetzt. Sie ist eine gute Annäherung an eine so genannte logarithmische Spirale. Denkt man sich die Konstruktion der obigen Spiralen nach außen bis ins Unendliche fortgesetzt, entstehen Kurven, die durch die oben erwähnte Drehstreckung in sich selbst übergeführt werden können. Das Drehstreckungszentrum ist der Schnittpunkt S geeigneter Diagonalen zweier aufeinander folgender Rechtecke.

Diese Drehstreckung bildet in der Figur links unten etwa das Quadrat ABCD auf das Quadrat A'B'C'D' ab.

Vgl. dazu auf Seite "11 Aufgaben" die Beispiele 13) und 14)!

Nicht zuletzt beeinflusst von Adolf Zeising und seinen Schülern (siehe Seite "10 Namen") wurden im 19. und 20. Jhdt. alle wichtigen Bauten und ihr architektonisches Umfeld auf Proportionen nach dem Goldenen Schnitt untersucht.
Hier seien einige Ergebnisse dargestellt, die den Salzburger Dom diesbezüglich zum Thema haben. Sie stammen im Wesentlichen aus einer von Hardo Raslagg veröffentlichten Arbeit (Quelle 2 auf Seite "13 Hinweise").

Links der Grundriß des Domes, wie er 1628 zuerst nach Plänen Vincenzo Scamozzis, dann abgeändert von Santino Solari fertig gestellt wurde. Man erkennt die Konstruktion mit den Doppelbögen zum Nachweis des goldenen Teilverhältnisses von der Seite "5 Ästhetik". Demnach sind der Ort des Kuppelmittelpunkts und der Kuppelradius "goldene Größen".

Rechts unten der Domplatz, auf dem alle Jahre wieder Hoffmannsthals "Jedermann" gespielt wird. Die Domfassade befindet sich rechts. Der rote Pfeil weist auf das im Platz befindliche, als Punkt erkennbare Mariendenkmal. Major (M) und Minor (m) sind wieder analog konstruiert und legen seinen Ort als "goldenes Zentrum" fest. Am linken Bildrand das Hofbogengebäude.
Einen Fassadenteil desselben mit drei Bogendurchgängen sieht man links unten. Der Blick geht nach Westen Richtung Franziskanerkirche. Es bleibe dem Betrachter überlassen, inwieweit er die hier ausgewiesenen Distanzverhältnisse aufgrund der gewählten Bezugspunkte als gestalterisch grundlegend und optisch zwingend einzuschätzen vermag. Wie auf Seite "10 Namen" erwähnt, ist die Betonung des goldenen Schnitts als Harmoniekriterium ein Kind der Romantik. Und der romantische Blick lässt einen oft sehen, was man sehen will...

L. da Vinci: Der Vitruvianische Mensch

Kepler: Mysterium Cosmographicum Phidias (Φιδιασ, 490 - 430), griechischer Bildhauer und Baumeister. Unter seiner Leitung entsteht der Parthenontempel in Athen. Wie an vielen anderen historischen Gebäuden kann man auch an ihm mehr oder weniger genau Längenverhältnisse des Goldenen Schnitts erkennen. Phidias zu Ehren hat man die Goldene Zahl mit dem Anfangsbuchstaben seines Namens bezeichnet: Φ. Euklid (um 365 - um 300) erwähnt in seinem Hauptwerk "Die Elemente" als erster die stetige Teilung und gibt dort die auf Seite "5 Ästhetik" wiedergegebene Definition. Vitruvius Maximus, kurz Vitruv (unbekannte Lebensdaten, erstes Jhdt. v. Chr.), dient in Caesars Heer, später Architekt und Schriftsteller: "Zehn Bücher über Architektur", in denen antike Technik genau beschrieben wird. Ausführlich kommt auch Geometrie zu Wort. In seiner Abhandlung über den wohlgeformten Menschen setzt er die menschliche Gestalt zu geometrischen Formen in Beziehung. Von seinen Zeitgenossen kaum beachtet, wird er erst später, vor allem in der Renaissance, gewürdigt und zitiert. Leonardo da Vinci schafft nach seinen Ideen die bekannte Quadrat- und Kreiseinpassung, die Pacioli mit vielen anderen Zeichnungen da Vincis in seinem Buch "De divina proportione" veröffentlicht. Leonardo von Pisa (Fibonacci, um 1175 - 1240), zieht mit seinem Vater (Kaufmann) durch islamische Länder. Er studiert einige Jahre in Nordafrika und bringt mit seinem Buch "Liber Abaci" das erworbene Wissen nach Europa, u.a. die arabischen Zahlen einschließlich der von den Indern übernommenen Null. In diesem Buch finden sich auch zahlreiche Rätsel zu Proportionen und Brüchen, so auch das "Kaninchenproblem". Folgerungen aus seiner Zahlenfolge in Zusammenhang mit stetiger Teilung etc. sucht Leonardo aber nicht. Erst Édouard Lucas gibt 1877 der Folge den Namen Fibonaccis. Luca Pacioli (um 1445 - 1517), Franziskanermönch nahe Florenz, Mathematiker, befreundet mit Leonardo da Vinci, lehrt in vielen Städten Oberitaliens. Er schreibt ausführlich über den Goldenen Schnitt und bezieht sich dabei vor allem auf Euklid, obwohl sein Ansatz eher arithmetisch denn geometrisch ist. So fordert er etwa seine Leser auf, die Zahl 10 so in zwei Teile zu teilen, dass der 10-fache eine so groß wie das Quadrat des anderen wird. Bei ihm ist das Verhältnis der stetigen Teilung am deutlichsten geradezu religiös als "göttlich" empfunden. Allenfalls bei Kepler klingt das später noch an. Leonardo da Vinci (1442 - 1519), Sohn eines Notars und einer (höchstwahrscheinlich) arabischen Sklavin, Universalgenie der Renaissance. Keineswegs folgt er Paciolis Begeisterung für die göttliche Teilung. In seinem "Stammbaum der Proportionen" kommt als einzige Illustration inkommensurabler Strecken das Verhältnis der Diagonale zur Seite eines Quadrats vor. Johannes Kepler (1571 - 1630) sieht in der Form Ursache des Naturgeschehens, nicht Folge wie später Galilei. Beispielhaft dafür ist sein "Mysterium Cosmographicum", das die 5 Räume zwischen den damals bekannten 6 Planeten den 5 platonischen Körpern zuordnet. Entsprechend ist ihm auch der Goldene Schnitt bedeutungsvoll. Dies geht nicht zuletzt aus zahlreichen seiner Briefe hervor. Er ist wohl der erste, der den Zusammenhang zwischen Goldenem Schnitt und der Fibonacci-Folge erkennt, die er allerdings anders als über Kaninchenvermehrung entwickelt. Ferner ist er der erste, der den Goldenen Schnitt mit Phänomenen der belebten Natur in Verbindung bringt. Gustav Theodor Fechner (1801 - 1887), Physiker und Naturphilosoph. Nach wie vor wird sein Name zitiert im Weber-Fechnerschen Gesetz, das die logarithmische Abhängigkeit der subjektiven Empfindung von der Reizintensität beschreibt. Er publiziert empirische Arbeiten zur "präferierten Wahrnehmung" von Menschen und bringt damit den Goldenen Schnitt in die Psychologie. Er, Zeising und viele ihrer Schüler und Nachfolger geben dem Goldenen Schnitt im 19. und beginnenden 20. Jhdt. ein Gewicht, das er im Altertum und auch in der Renaissance nie gehabt hat. Erst die Romantik macht ihn richtig populär. Adolf Zeising (1810 - 1876), Philosoph, knüpft in seinem Buch "Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers" an Pacioli an und sieht im menschlichen Körper das Schönheitsideal schlechthin. Auf 150 Seiten beschreibt er Proportionen von Gliedmaßen und Körperteilen, die alle dem Goldenen Schnitt entsprechen sollen. Schließlich erklärt er sogar die gesamte Schöpfung als vom Grundgesetz des Goldenen Schnitts geprägt. Und heute? Vergleichen Sie mit dem Goldenen Rechteck (a:b = 1,618):
DIN A4: √2:1 = 1,424, TV-Schirm (alt): 4:3 = 1,333 TV-Schirm (neu): 16:9 = 1,778 Kleinbild-Dia 36:24 = 1,5
Wer kümmert sich noch um "präferierte Wahrnehmung"?

1) Die folgenden Figuren sind im wesentlichen aus Quadraten und gleichseitigen Dreiecken aufgebaut.
Bestimmen Sie jeweils die Teilverhältnisse für die Strecken AB und AC. 2) Gibt es außer Φ noch andere relle Zahlen, deren Kehrwerte die selben Nachkommastellen haben? 3) Überprüfen Sie die Richtigkeit der unten angedeuteten Konstruktion eines regulären Fünfecks!

4) Zeigen Sie, dass für die Quotientenfolge <c_n>=<a_n+1/a_n> der Fibonacci-Zahlen <a_i> gilt:

5) BeweisenSie: 6) Wie verhält sich jeweils eine der drei grauen Flächen zur Fläche des äußeren regulären Fünfecks? 7) Beweisen Sie die Berührbedingung für den Goldenen Baum! (Hinweis auf Seite "1 Fraktal") 8) Zeigen Sie, dass bei Φ-Zahlen die Ziffernfolgen 100 und 011 gleichwertig sind. 9) Berechnen Sie den Grenzwert

10) Stellen Sie 11,01_Φ als Dezimalbruch dar! 11) Zeigen Sie: ½ ist im Goldenen Zahlensystem der periodische "Bruch"

12) Man lässt jede zweite Fibonacci-Zahl weg. Wie lautet die Rekursionsformel zur Bildung der übrigbleibenden Zahlenfolge? 13) Bilden Sie analog zur Goldenen Spirale eine andere, indem Sie die Viertelkreise durch ihre jeweils komplementären
Dreiviertelkreise ersetzen. 14) Zeigen Sie für die Figur links unten auf der Seite "8 Spirale", dass SA und SA' orthogonal sind.
Berechnen Sie das Verhältnis SA':SA. 15) Die positive Lösung der Gleichung x²−2x−1 = 0 sei Ψ. Kann man ein Zahlensystem zur Basis Ψ bilden?

16) Eine Treppe hat n Stufen. Die erste Stufe soll immer betreten werden, dann kann man aber jeweils entweder die nächste oder gleich die übernächste Stufe nehmen. Zeigen Sie: Die Anzahl der Möglichkeiten, die Treppe zu besteigen, ist die n-te Fibonacci-Zahl. 17) Die nebenstehende Spirale wird über goldene Dreiecke erzeugt (vgl. dazu die Seite "6 Fünfeck"). Sie besteht aus Kreisbögen, die in den Übergangspunkten A, C, usw. gemeinsame Tangenten haben. Wo liegen die jeweiligen Mittelpunkte dieser Bögen? Welche Eigenschaft kommt dem Schnittpunkt der rot gezeichneten Eckschwerlinien der Dreiecke ABC und ADC zu? Geht auch hier die bis ins Unendliche fortgesetzte Spirale durch eine Drehstreckung in sich selbst über? Eventuelles Drehzentrum? Drehwinkwinkel? Streckungsfaktor? 18) Das Lothringer Kreuz kann man
sich aus 13 Quadraten gebildet denken. Es soll durch eine gerade Linie durch den Punkt O in zwei gleich große Flächen getrennt werden.
Zeigen Sie, dass diese Linie die Strecke AB im goldenen Schnitt teilt.
(Die nebenstehend gezeichnete ist nicht die Lösungslinie!) 19) Die grau gefärbte "Mondsichel" der
Figur unten links ist so entstanden, dass der Peripheriepunkt S des kleinen Kreises Schwerpunkt der Sichelfläche ist. Beweisen Sie: Jede Sehne durch A wird im goldenen Schnitt geteilt. 20) Die Länge einer Quadratseite sei eine Fibonacci-Zahl (hier 13). Man teilt die Seiten gemäß Abbildung im Verhältnis ihrer beiden Fibonacci-Summanden, um vier Teilflächen zu erhalten, die man zu einem Rechteck zusammen setzt. Nun ergibt aber der Vergleich der Inhalte von Quadrat und Rechteck einen Unterschied von 1. Wo liegt der Fehler? Beweisen Sie in diesem Zusammenhang die für
Fibonacci-Zahlen gültige Formel:

21) Zu zeigen: Für alle Glieder von Folgen, die nach dem Bildungsgesetz a_n+2 = a_n+a_n+1 entstehen (und damit auch für alle Fibonacci-Zahlen) gilt: a_ka_k+3, 2a_k+1a_k+2 und a_k+1²+a_k+2² bilden ein pythagoräisches Tripel, können also als Seitenlängen rechtwinkliger Dreiecke gesehen werden.

Literatur:

Die Einzelseiten als PDF-Dateien:

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